复数项级数

Complex-term Series

一、复数列的极限

${α_{n}} (n = 1, 2, \dots)$ 为一复数列 $α_{n} = a_{n} + i b_{n}$ ， $α = a + i b$ 为一确定的复数
对于任意给定的 $ε > 0$ ，都能找到一个正数 $N (ε)$ ，使得 $| α_{n} - α | < ε$ 在 $n > N$ 时成立
则 $α$ 称为复数列当 $n \to \infty$ 时的极限

复数列 ${α_{n}}$ 收敛于 $α$ 的充要条件：（复数列的敛散性转化为两个实数列的敛散性）

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = a lim_{n \to \infty} b_{n} = b \end{array}

二、复数项无穷级数

${α_{n}} = {a_{n} + i b_{n}}$ 为一复数列，复数项无穷级数：

\sum_{n = 1}^{\infty} α_{n} = α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n} + \dots

部分和（前 n 项和）： $S_{n} = α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n}$

部分和数列收敛，则级数收敛
部分和数列不收敛，则级数发散

$\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ 的前 $n$ 项和 $lim_{n \to \infty} s_{n} = \frac{1 - z^{n}}{1 - z}$

当 $| z | < 1$ 时， $lim_{n \to \infty} s_{n} = \frac{1}{1 - z}$ 级数收敛
当 $| z | > 1$ 时，级数发散

三、复数项级数收敛的条件

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + i b_{n}) \end{array}

复数项级数收敛的充要条件： $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 都收敛，转化为常数项级数审敛法的敛散性判断
复数项级数收敛的必要条件：

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} α_{n} = 0 \end{array}

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} α_{n} \neq 0 \to \sum_{n = 1}^{\infty} α_{n} 发 散 \end{array}

判断级数是否收敛时

可以优先利用必要条件判断，再利用充要条件确定

绝对收敛和条件收敛

如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} | α_{n} |$ 收敛，则称级数绝对收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛，且 $| \sum_{n = 1}^{\infty} α_{n} | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | α_{n} |$ ， $\sum_{n = 1}^{\infty} α_{n} 绝对收敛 \Leftrightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 与 \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} 绝对收敛$
如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} | α_{n} |$ 不收敛，而 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则称为条件收敛

与实数意义下的级数敛散性非常相近

注意！

要区分数列的收敛与级数的收敛判断，首先要搞清楚数列与级数的关系

数列是数的序列：收敛只要实部和虚部分别有极限即可（实部与虚部都有极限，则复数列收敛，有极限）
级数是无穷数列的和：要注意充要条件和必要条件的应用，转化为正向级数敛散性的判断（实部级数与虚部级数都收敛，则复级数收敛）